Нужен ли договор с самозанятым

Нужен. Договор подтверждает предмет и результат, чек — основание не платить НДФЛ и взносы.

Что должно быть

Конкретные услуги, результат, срок, порядок приёмки по акту.

Чего быть не должно

График, должность в штатном расписании, оплата «за месяц» — это признаки трудовых отношений.